• Quero saber se o candidato \(A\) vai ganhar as eleições para prefeito.

• Quero saber parâmetro populacional \(p\) = proporção de pessoas que votam em \(A\).

• Posso esperar o resultado das eleições para saber, ou seja, teríamos as respostas de todas as pessoas da cidade.

• Posso usar uma amostra para estimar a proporção de votos para \(A\).

• Quão boa é a estimativa? É precisa?

• Posso pensar no problema de duas formas: Modo 1 e Modo 2.

• Cidade com \(N\) pessoas.

• \(X_i = 1\) se a pessoa \(i\) vota em \(A\)

• \(X_i=0\) se a pessoa \(i\) não vota em \(A\).

• \(\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_N)\): respostas de toda a população (temos no dia da eleição).

• Média populacional: \[p=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i\]

• \(p\) = proporção de pessoas que votam em \(A\) na cidade

• \(\sigma^2=p(1-p)\) é a variância da população.

• Até o dia da eleição, não sabemos \(p\).

• Coletamos uma amostra aleatória de tamanho \(n\) para uma pesquisa eleitoral.

• \(\hat{p}\): proporção de pessoas que votam em \(A\) na amostra.

• Quão boa é a estimativa? É precisa?

• Se outra pessoa também coleta uma amostra aleatória de tamanho \(n\) e calcula \(\hat{p}\) teremos o mesmo valor?

\[\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_5)=(1,0,1,0,1)\]

\[p=\frac{\sum_{i=1}^5X_i}{5}=\frac{3}{5}=0.6\]

\[\begin{eqnarray} \sigma^2&=&\frac{1}{5}\sum_{i=1}^N(X_i-p)^2\\ &=&\frac{3\times(1-0.6)^2+2\times(0-0.6)^2}{5}\\ &=&0.24\\ &=&p(1-p) \end{eqnarray}\]

Distribuição amostral de \(\hat{p}\):

\[\begin{eqnarray} E(\hat{p})&=&0\times 0.16 + 0.5\times 0.48 + 1\times 0.36 = 0.6 = p\\ Var(\hat{p})&=&E[(\hat{p}-p)^2]\\ &=&0.16\times(0-0.6)^2 + 0.48\times(0.5-0.6)^2 + 0.36\times (1-0.6)^2\\ &=&0.12=\frac{0.24}{2}=\frac{p(1-p)}{n} \end{eqnarray}\]

Suponha que a resposta de uma pessoa da cidade sobre se vota ou não no candidato \(A\) possa ser representada por uma variável aleatória. \(X\) que assume o valor \(1\) com probabilidade \(p\) ou \(0\) com probabilidade \(1-p\).

\(\begin{aligned} X &\sim Bernoulli(p)\\ \mathbb E(X) &= 1 \times P(X=1) + 0 \times P(X=0) \\ &= 1\times p + 0\times (1-p) = p\\ Var(X) &= \mathbb E[(X - p)^2] \\ &= (1-p)^2 \times P(X=1) + (0 - p)^2 \times P(X=0) \\ &=p(1-p)^2+(1-p)p^2\\ &= p(1-p) \end{aligned}\)

• Modo 1: repostas são “fixas”, com média populacional \(p\) e variância populacional \(p(1-p)\).

• Modo 2: respostas são v.a.’s \(X\sim Bernoulli(p)\), \(E(X)=p\), \(Var(X)=p(1-p)\).

• Em ambos os casos, a partir do momento que retiro uma amostra aleatória de tamanho \(n\), temos as mesmas propriedades e comportamento para a proporção amostral \(\hat{p}\): \(E(\hat{p})=p\) e \(Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}\)

E, conforme \(n\) aumenta, vimos nos gráficos que: \(\hat{p}\sim \mathcal{N}\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)\)

• Quero saber o salário médio das pessoas de uma certa cidade (parâmetro populacional de interesse).

• Posso usar uma amostra e estimar usando a média amostral.

• Quão boa é a estimativa? É precisa?

• Posso pensar no problema de duas formas: Modo 1 e Modo 2.

Temos a esperança e a variância da média amostral \(\bar X\): \(\mathbb E(\bar X) = \mu\) e \(Var(\bar X) = \frac{\sigma^2}{n}\).

No entanto, para conhecermos a distribuição de probabilidade de \(\bar X\), como foi feito no exemplo anterior, é preciso conhecer todos os valores possíveis de \(X\) e suas respectivas probabilidades.

Mas, se conhecermos tudo isso, não precisamos fazer amostragem nem inferência: saberemos tudo o que desejarmos daquela população!

O exemplo anterior foi um caso hipotético apenas para demonstrar como a média amostral \(\bar X\) se comporta quando realizamos a amostragem.

Na prática, não teremos informações suficientes para de fato descrevermos a distribuição exata de \(\bar X\).